New PDF release: Analysis 2: Differentialrechnung im IRn, gewohnliche

By Otto Forster

ISBN-10: 3834805750

ISBN-13: 9783834805751

Der zweite Band beschäftigt sich mit der mehrdimensionalen Differentialrechnung sowie mit gewöhnlichen Differentialgleichungen. Bei der Darstellung wird die Theorie durch viele konkrete Beispiele erläutert, insbesondere solche, die für die Physik correct sind.

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1. Seien f , g : X → R zwei stetige Funktionen auf dem metrischen Raum X . F¨ur x ∈ X werde definiert ϕ(x) := max( f (x), g(x)), ψ(x) := min( f (x), g(x)). Man zeige, dass die Funktionen ϕ, ψ : X → R stetig sind. 2. Sei W der offene W¨urfel im Rn , W := {(x1 , . . , xn ) ∈ Rn : |xi | < 1 f¨ur i = 1, . . , n} Man konstruiere einen Hom¨oomorphismus von W auf die Einheitskugel B1 (0) = {x ∈ Rn : x < 1}. 3. Man zeige, dass der Vektorraum C [a, b] aller stetigen Funktionen f : [a, b] → R auf dem kompakten Intervall [a, b] ⊂ R mit der Supremumsnorm f := sup{| f (x)| : x ∈ [a, b]} vollst¨andig ist.

Es gilt dann A ⊂ Ui0 ∪Ui1 ∪ . . ∪UiN ∪Ui∗ . Wir haben also eine endliche Teil¨uberdeckung gefunden. Allg. nicht mehr, wenn man aus A den Grenzwert der Folge wegl¨asst. Dies zeigt folgendes Beispiel: Sei A := n1 : n ∈ N 0 ⊂ R. Behauptung: A ist nicht kompakt. Beweis. Wir setzen 1 1 1 U1 := , 2 und Un := , 2 n+1 n−1 Un ist offen, also (Un )n f¨ur n 2. ¨ eine offene Uberdeckung von A. Jedes Un enth¨alt 1 genau einen Punkt von A, n¨amlich n . Deshalb wird A von keinem endlichen Teilsystem (Un1 ,Un2 , .

Unter einem Vektorfeld auf U versteht man eine Abbildung v : U −→ Rn . Jedem Punkt x ∈ U wird also ein Vektor v(x) ∈ Rn zugeordnet. Der Gradient ∇ f einer partiell differenzierbaren Funktion f : U → R ist ein spezielles Vektorfeld. Definition (Divergenz). Sei U ⊂ Rn eine offene Menge und v = (v1 , . . h. alle Komponenten vi : U → R seien partiell differenzierbar). Dann heißt die Funktion ∂vi i=1 ∂xi n divv := ∑ die Divergenz 1 des Vektorfeldes v. Bemerkung. Formal kann man die Divergenz von v als Skalarprodukt des Differentialoperators ∇ mit dem Vektor v schreiben, ∂ vi .

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Analysis 2: Differentialrechnung im IRn, gewohnliche Differentialgleichungen by Otto Forster


by Edward
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